Vecino je profesionalnu karijeru započeo u urugvajskom Centarl Espanolu 2010. godine, iz kojeg je nakon jedne sezone preselio u Nacional iz Montevidea s kojim je 2012. godine osvojio naslov prvaka Urugvaja. Od tamo je u siječnju 2013. kao 21-godišnjak prešao u Fiorentinu.
Prve dvije sezone u Italiji Vecino je uglavnom proveo na posudbama u Cagliariju i Empoliju, da bi se potom ustalio u momčadi Fiorentine za koju je u dvije sezone odigrao 58 utakmica u Serie A i postigao četiri pogotka.
Vecino je od prošle godine, kad je 25. ožujka debitirao u nacionalnom dresu u dvoboju s Brazilom, postao standarnim članom reprezentacije Urugvaja za koju je odigrao 13 utakmica i postigao jedan pogodak.
Prema informacijama iz talijanskih medija, Inter će Fiorentini na ime odštete za 25-godišnjeg Urugvajca platiti 24 milijuna eura.
U Fiorentini su mu suigrači bila i trojica hrvatskih nogometaša Nikola Kalinić, Milan Badelj i Hrvoje Milić, a u Interovoj svlačionici ga čekaju Ivan Perišić i Marcelo Brozović.